02/05/2010

Thư giãn Chủ nhật: Ông lão đánh cá và con cá vàng, và định lý Banach-Tarsky

Vũ Hà Văn

Diễn đàn đã có dịp giới thiệu blog của "Hòa thượng Thích Học Toán", alias Ngô Bảo Châu. Trong làng blog còn nhiều cao thủ trẻ tuổi tài cao nữa, hôm nay (1.5, lễ lao động) xin mời bạn đọc vào blog Vũ Hà Văn, GS Toán ở Đại học Rutgers (Mỹ), giải Pólya của Hội Toán học Công nghệ và Ứng dụng (SIAM) năm 2008. Một bài viết cực vui và dễ hiểu (nhất là trong một ngày nghỉ lễ)...

BVN xin đăng lại để bạn đọc cùng chia vui.

Bauxite Việt Nam

Chuyện ông lão đánh cá và con cá vàng hầu như ai cũng biết, nó đại loại tóm tắt như sau: Ông lão đánh cá đánh được một chú cá vàng. Cá vàng, cũng như trong một số lớn các truyện cổ tích khác, lại hóa ra một vị thần oai phong, nhiều phép thuật (còn tại sao nó lại bị ông lão bắt được thi bạn đừng hỏi, nhạy cảm). Cá ta hứa là nếu ông lão thả nó ra, nó sẽ tặng lại (trong ngôn ngữ hiện đại là “lại quả”) ông rất nhiều thứ, bất động sản, tiên bạc, xe ngựa, v.v. Bây giờ thời buổi khủng hoảng, giá cả lên lên xuống xuống, thôi ta cứ qui hết ra vàng cho tiện. Nôm na mà nói, cá hứa sẽ tặng ông lão một cục vàng to, mua được cả tấn cá khác. Ông lão, hiển nhiên, sẽ đồng ý như tất cả những bạn đánh cá khác, hay đa số đàn ông nói chung.

Chuyện chẳng kết thúc ở đây, vì ông lão, cũng như đa số đàn ông nói chung, có vợ! Vợ ông lão là bà lão. Bà lão nhìn ngay ra vấn đề. Với một cá vàng oai phong như thế thì một khối vàng là quá ít, bà muốn hai khối cơ, tức là gấp đôi.

Một khi bà lão đã muốn, thì ông lão chỉ còn cách cung kính vâng mệnh, đi ra bờ biển gọi cá vàng. Cá vàng hiện lên, hơi cau có môt chút, biển nổi sóng lăn tăn, nhưng cuối cùng thi nó cũng đồng ý với đề nghị của ông lão. Dù sao cũng đàn ông với nhau. Ông lão vui như hội, chạy về khoe với bà lão.

Chuyện chẳng kết thúc ở đây, vì bà lão, cũng như nhiều bà lão khác, sẽ muốn gấp đôi một lần nữa. Ông lão lại đi ra biển. Cá vàng lại hiện lên, dĩ nhiên cũng cau có gấp đôi. Sóng biển dâng trào, dân surfing bỏ chạy tán loạn. Miễn cưỡng lắm, nó cũng nghe lời ông lão.

Chuyện sắp kết thúc, như bạn đã biết, bà lão sẽ muốn gấp đôi một lần nữa. Ông lão lại đi ra biển.
Cá vàng mặt mũi vô cùng khó coi, như thể sắp bị đem ra làm shushi. Trời đen kịt.
Bão tố nổi lên. Tsunami tràn vào cuốn hết đi mọi thứ. Cuối cùng trên bãi cát còn trơ lại ông lão và bà lão. Rất buồn.

Chuyện ông lão đánh cá kết thúc ở đây.

Theo nghị quyết mới ra ngày mùng một tháng Tư năm 2010, để nâng cao chất lượng học đi đôi với hành, sau mỗi truyện ngụ ngôn, học sinh phổ thông cần tìm ra một bài học kinh nghiệm và một câu hỏi để đào sâu suy nghĩ. Bài học kinh nghiệm thì quá rõ ràng, ai cũng thấy, đó là:

“Không được nghe lời bà lão quá hai lần trong một ngày !!!!”

Câu hỏi thì nhiều (Chẳng hạn: “Làm thế nào để bắt được cá vàng?” hay “Giá ông lão có vốn mở
luôn resort từ hồi đó thì sao nhỉ?”). Nhưng câu hỏi mấu chốt hơn, và có tính khoa học hơn cả, có lẽ là:

“Làm thế nào để biến một cục vàng thành hai?“

Nghe ngớ ngẩn nhỉ! Dĩ nhiên phải kinh doanh đầu tư làm cho vốn liếng sinh sôi nảy nở, chứ còn làm thế nào?

Ha ha, toán học xem ra cũng được việc! Cách đây gần cả trăm năm, hai nhà toán học (vô cùng nổi tiếng) người Ba Lan là Banach và Tarski đã tuyên bố xanh rờn là chẳng cần kinh doanh đầu tư gì hết, các ông ấy có cách cắt một cục vàng ra thành mấy mảnh, rồi ghép lại thành hai cục to, mỗi cục to bằng cục ban đầu!!

BÔ…Ố..CC PHHHEEE…ÉT!!! Bà lão (và cả ông lão) hét tướng. Hiển nhiên, chuyện này còn khó nghe hơn là chuyện một nhà tài chính từ Nigeria tự dưng muốn gửi cho ta 20 triệu đôla (qua email), vì ta là một người trung thực và tốt bụng mà ông ấy vô cùng ngưỡng mộ.

Nhưng định lý Banach-Tarsky là có thật!! Nó có thể phát biểu nôm na như sau:

Gỉả sử clip_image001 là hình cầu (đặc) cò bán kính 1. Tồn tại hai phẻp quay clip_image002clip_image003, và một cách cắt clip_image001[1] thành bốn phần
clip_image004, sao cho clip_image005 vả clip_image006.

Đại ý là bạn có thể cắt clip_image001[2] thành bốn phần, lấy hai phần, xoay xoay một lúc, và, hốp, ghép lại thành một clip_image001[3] mới. Lấy hai phần còn lại, xoay xoay một lúc, và, hốp, ghép lại thành một clip_image001[4]
mới khác. Anh David Copperfield trông thấy thì phải gọi bằng cụ.

Điều đáng tiếc ở đây là các tập hợp clip_image007 là không đo được. Nôm na mà nói, không thể chế tạo chúng bằng dao kéo bình thường, hoặc ngay cả tia lade. Dụng cụ được Banach va Tarsky dùng là một tiên đề gây nhiều tranh cãi: axiom of choice (AoC; Tiên đề “Chọn”). Tiên đề này được phát biểu như sau:

“Nếu có một bộ các tập hợp không rỗng, thì có thể chọn ra từ mỗi tập hợp đúng một phần tử“.

Tiên đề này nghe qua thì hiển nhiên là đúng, và không ai tranh căi tính đúng đắn của nó khi số tập hợp trong bộ là hữu hạn hay đếm được. Vấn đề ở chỗ số tập hợp có thể là không đếm được.

Định lý B-T thường được dùng như một ví dụ để tranh cãi về tính đúng đắn của AoC. Trong nhiều sách giáo khoa, định lý này được gọi la nghịch lý B-T.

Cũng may, trong các ngành toán có tính ứng dụng, AoC không có vai trò cốt yếu. Cũng bởi vậy, giá vàng vẫn tăng.

Vời AoC trong tay, chứng minh định lý B-T không khó lắm, nhưng nó phối hợp các khái niệm và ý tưởng từ đại số và hình học một cách rất đẹp.
Các ý chính có thể tóm tắt như sau:

(0) Ta bắt đầu bằng một nhận xét đơn giản. Tập hợp:clip_image008 gồm các dăy hữu hạn chứa 0 và 1 đồng dạng với tập con
clip_image009 gồm các dãy bắt đầu bằng một. Ta có thể có một song ánh từ clip_image010 vào clip_image011 bằng cách map dãy
clip_image012 vào dãy clip_image013. Tương tự vời clip_image014 gồm các dãy bắt đầu bằng 0.

Ví dụ này rất dễ, và thật ra không liên quan trực tiếp đến cách chứng minh. Nhưng nó đã hơi gợi đến một hiện tượng giống như định lý BT, tức là tập hợp clip_image011[1] (theo một nghĩa nào đó) có thể chia thành hai tập con đồng dạng vời nỏ.

(1) Bây giờ ta nghiên cứu một tập hợp phức tạp hơn: Nhóm tụ do clip_image015 được gây dựng bởi hai phần tử, clip_image002[1]clip_image003[1].

Phần tử của nhóm này gồm các dăy clip_image016, trong đó clip_image017 có thể lấy giá trị clip_image018clip_image019.
Tích của hai phần tử clip_image020clip_image021clip_image022 (tất nhiên ta phải áp dụng các luật tối giản hiển nhiên như clip_image023 ).

Ví dụ, các phần tử có độ dài là 2. Bây giờ ta có thể chia clip_image015[1] thành bốn nhóm:
clip_image024clip_image025, tùy theo theo phần tử đầu tiên trong dãy là clip_image026 hay clip_image019[1].

Bạn có thể dễ dàng chứng minh: clip_image027clip_image028.

(2) Trong bước này, ta cần một tính chất quan trọng của không gian 3 chiều, đó là nhóm các phép quay trong không gian này chứa một nhóm con tự do clip_image015[2] được gây dựng bởi hai phần tử (bạn có thể tự tìm ví dụ cho hai phần tử–ma trận– clip_image002[2]clip_image003[2]).

Tách clip_image029 như trên.

(3) Bây giờ bạn cần một ứng dụng của tiên đề “Chọn”: Trước hết, ta xem clip_image015[3] hoạt động trên clip_image001[5] ra sao. Nhóm này sẽ tách clip_image001[6] thành các quỹ đạo riêng biệt (disjoint orbits) (một quỹ đạo (orbit) là một tập hợp có dạng clip_image030, trong đó clip_image031là một điểm cố định trên clip_image001[7]).

Tiên đề “Chọn” cho phép ta chọn từ mỗi quỹ đạo ra một điểm.

(4) Từ mỗi điểm clip_image032 được chọn ra, bạn có thể chia quỹ đạo của clip_image032[1] làm 4 phần, theo các tập con clip_image033. Ví dụ, phần thứ nhất gồm các điểm clip_image034 với clip_image035…vv. Với clip_image036, định nghĩa clip_image007[1] là union của phần thứ clip_image037 của các quỹ đạo. Từ bước (1) ta biết clip_image027[1]clip_image028[1]. Từ đây bạn có thể suy ngay ra rằng: clip_image038clip_image039. Đây chính là kết luận của định lý B-T.

(Tôi lược bỏ một số chi tiết mang tính kỹ thuật nhưng không quan trọng, bạn đọc có thể tự tìm ra các chi tiết này dưới dạng bài tập. Ngoài ra bạn có thể tự đặt một số câu hỏi rất thú vị về định lý này)

VHV

Nguồn: http://vuhavan.wordpress.com/20/04/26/ong-lao-danh-ca-va-con-ca-vang-va-d%25E1%25BB%258Bnh-ly-banach-tarsky/